Ecuaciones Diferenciales

El curso de Ecuaciones diferenciales en la UNAD
Desarrollar en el estudiante competencias para modelar por medio de ecuaciones diferenciales algunos sistemas simples y predecir su comportamiento con el fin de ser aplicados en su
desempeño profesional.
Brindar al estudiante herramientas que le permitan comprender y utilizar las diferentes técnicas analíticas y cualitativas para resolver ecuaciones diferenciales en su campo de formación y
ejercicio profesional.

COMPETENCIAS GENERALES DEL CURSO:
El estudiante aplica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de primer orden, dirigidos a la construcción de un conocimiento de manera autónoma con el fin de dar solución a
problemas relacionados con la ingeniera y situaciones cotidianas.
El estudiante diferencia y aplica los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior relacionándolos con situaciones problema de la ingeniera para aplicarlos en
su campo profesional.
El estudiante utiliza las series matemáticas y de potencia para dar solución a ecuaciones diferenciales que se puedan generar en ejercicios de la ingeniería y los relaciona con elementos prácticos
de su formación profesional.

Importancia de Estudiar Ecuaciones Diferenciales

La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las Ecuaciones Diferenciales y en Diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos, físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico, lo cual posible que se estudien ecuaciones diferenciales en diferencias con la teoría de problemas de valor inicial.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales y en diferencias para los Ingenieros, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales que requieren de técnicas de gran desarrollo en la actualidad como la modelación y la simulación. 

Por tales razones el programa de Ecuaciones Diferenciales y en diferencias desarrolla los siguientes ejes temáticos: 

• Una breve Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, en esta parte, se clasifican las ecuaciones diferenciales y se llegan a las ecuaciones diferenciales de primer orden y a los problemas de valor inicial, en esta parte se estudian los métodos clásicos de solución tales como variables separables, ecuaciones lineales,  homogéneas, exactas, cuasi-exactas  y por sustituciones. Se estudian las ecuaciones de Bernoulli, Riccati, Clairaut y se estudian algunos problemas de modelado como crecimiento y decrecimiento exponencial de poblaciones, ley de enfriamiento, mezclas y circuitos en serie, modelos demográficos y logísticos, reacciones química, y modelos que involucran sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
• Se estudian las ecuaciones diferenciales de orden superior y los diferentes métodos de solución ya sea por superposición, reducción de orden, coeficientes indeterminados, anulador y variación de parámetros y las ecuaciones de Cauchy-Euler. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación; y, los problemas de modelado como los sistemas masa-resorte libre amortiguados y libre forzados y los circuitos en series LRC.
• Se estudia la Transformada de Laplace y sus múltiples aplicaciones en la solución de problemas de valor inicial, se estudian con detenimiento la convolución de funciones y las transformadas de funciones periódicas.
• Por último se hace una introducción a las ecuaciones diferenciales en diferencias de primer orden con coeficientes constantes y problemas de modelado, a las ecuaciones en diferencias de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes y problemas de modelado. 

Referencias: 

http://www.unitecnologica.edu.co/internacionalizacion/en/node/786

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

cuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

Si 

se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo

Si 

se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo

1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de la ecuación

Donde En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.

Ejemplos:

1) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones ; son linealmente independientes

2) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad pueden ser entonces las funciones ; son linealmente dependientes

Si son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

, entonces, la solución general es

Donde son las constantes

Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma

Entonces

Remplazando en se tiene

Factorando

Como nunca se anula, es una solución si y solo si 

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial 

Solución:

Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye por , por , e por 1 para obtener una ecuación de la forma 

Por lo tanto la ecuación característica de es 

Resolviendo la ecuación se tiene 

Entonces

Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos97/ecuaciones-diferenciales-segundo-orden/ecuaciones-diferenciales-segundo-orden.shtml#ixzz3BPtwxmSP

Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:

Una solución	No hay solución	Soluciones infinitas
Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones.

Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:

Una solución	No hay solución	Dos soluciones
Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.

Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).

Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.